Random Variable 에 함수 를 적용하면 새로운 Random Variable 를 얻는다. 이를 Transformation이라고 한다. 핵심은 원래 값의 확률을 새로운 값에 빠짐없이 옮기는 것이다.

이산형 Transformation

이산형에서는 같은 를 만드는 모든 의 확률을 더한다.

여기서 는 의 원상(preimage), 즉 함수 를 적용했을 때 가 되는 원래 값들의 집합이다.

절댓값 예시

의 PMF가

이고 라 하자. 은 에서만 나오지만, 은 과 에서 나온다.

단조인 연속 Transformation

가 지지집합에서 일대일이고 미분 가능한 역함수 를 가진다고 하자. 의 PDF는

이다.

절댓값이 붙은 미분 항은 구간의 길이가 Transformation 과정에서 얼마나 늘어나거나 줄어드는지를 보정한다. 확률 자체는 보존되어야 하므로 밀도는 길이 변화의 역수만큼 바뀐다.

예를 들어 이고 이면

이다.

일대일이 아닌 경우

같은 에 여러 가 대응하면 각 역함수 가지의 기여를 더한다.

Half-Normal 예시

이고 라 하자. 에서 와 두 값이 같은 를 만든다.

이다.

CDF 방법

함수가 복잡하거나 단조 구간을 나누기 어려울 때는 먼저 CDF를 구할 수 있다.

사건을 에 대한 부등식으로 바꾼 뒤 원래 CDF로 계산하고, 필요하면 미분하여 PDF를 얻는다.

예를 들어 이면 에서

이다.

지지집합 확인

Transformation 문제에서는 식뿐 아니라 새로운 Random Variable이 가질 수 있는 값의 범위를 함께 구해야 한다. 원래 지지집합을 함수 로 보낸 결과가 새로운 지지집합이다. 범위를 잘못 잡으면 적분값이 1이 되지 않거나 존재하지 않는 값에 양의 밀도를 주게 된다.

정리

이산형에서는 같은 출력값의 확률을 합한다. 연속형에서는 역함수와 미분을 이용해 밀도를 보정한다. 일대일이 아니면 가능한 모든 역함수 가지를 더하며, 항상 새로운 지지집합을 먼저 확인해야 한다.

연습 문제

  1. 주어진 이산 PMF에서 의 PMF를 구한다.
  2. 에서 의 PDF를 구한다.
  3. 연속 CDF 가 엄격히 증가할 때 임을 보인다.

풀이

1번

본문의 이산 PMF

에서 로 두면 가능한 값은 0과 1이다. 따라서

이고

이다.

2번

의 지지집합은 이다. 한 값 에 대해 원상은 와 두 개이고, 이다. 따라서

이는 자유도 1인 Chi-square Distribution의 PDF이다.

3번

라고 두자. 에서 가 연속이고 엄격히 증가하므로 역함수가 존재한다. 따라서

즉 의 CDF는 에서 이므로

이다.