확률 실험의 결과는 동전의 앞뒤처럼 기호일 수도 있고, 주사위의 눈처럼 숫자일 수도 있다. 계산을 체계적으로 하려면 각 결과를 숫자에 대응시켜야 한다. 이 역할을 하는 함수가 Random Variable이다.

Random Variable의 정의

Random Variable 는 표본공간의 각 결과를 실수에 대응시키는 함수이다.

이름에 variable이 들어가지만, 수학적으로는 함수라는 점이 중요하다. 실제로 무작위인 것은 표본공간에서 어떤 결과 가 선택되는지이며, 는 선택된 결과를 숫자 로 바꾼다.

동전을 두 번 던지는 경우

이고, 를 앞면의 개수로 정의하면

이다. 서로 다른 결과가 같은 값으로 대응될 수 있다.

Random Variable이 만드는 사건

는 숫자 하나가 아니라 “의 값이 가 되는 모든 결과”를 모은 사건이다.

따라서

로 이해해야 한다.

예를 들어 공정한 주사위에서 를 짝수 여부로 정의해 짝수이면 0, 홀수이면 1을 부여한다고 하자. 그러면

이므로 이다.

Distribution과 CDF

Random Variable의 Distribution은 가능한 값에 확률이 어떻게 배분되어 있는지를 나타낸다. 이를 이산형과 연속형에 관계없이 항상 표현할 수 있는 함수가 Cumulative Distribution Function, 즉 CDF이다.

CDF는 특정 값 하나의 확률이 아니라 이하에 누적된 확률이다.

동전을 세 번 던지고 를 앞면의 개수라고 하자. 이때

이므로

이다.

CDF의 기본 성질

모든 CDF는 다음 세 성질을 만족한다.

1. 양 끝에서의 극한

2. 단조 증가

이면 사건 이 에 포함되므로

이다.

3. 우연속성

이산 Random Variable의 CDF는 값이 갑자기 뛰는 지점을 가질 수 있다. 그 점프의 크기는 해당 점의 확률과 같다.

여기서 는 의 왼쪽 극한이다.

구간 확률 계산

CDF를 이용하면 구간 확률을 다음처럼 계산할 수 있다.

이산형에서는 경계값을 포함하는지에 따라 확률이 달라질 수 있다. 예를 들어

이다.

정리

Random Variable은 표본공간의 결과를 실수에 대응시키는 함수이다. CDF는 의 누적 확률을 나타내며, 양 끝에서 0과 1로 수렴하고, 단조 증가하며, 우연속이다.

연습 문제

  1. 동전을 세 번 던질 때 앞면의 개수 에 대한 CDF를 구간별로 작성한다.
  2. 가 CDF의 조건을 만족하는지 확인한다.
  3. CDF의 점프 크기가 와 같음을 설명한다.

풀이

1번

동전을 세 번 던졌을 때 앞면의 개수는 이다. 각 확률은

이다. 따라서 CDF는

이다.

2번

는 모든 실수에서 연속이므로 우연속이다. 또한

이므로 단조 증가한다. 양 끝의 극한은

이다. 따라서 CDF의 조건을 모두 만족한다.

3번

점 에서의 확률질량은 가 이하일 확률에서 보다 작은 확률을 뺀 값이다.

따라서 CDF의 점프 크기가 바로 이다.