Linear Combination을 이해하면 자연스럽게 다음 질문이 생긴다. 주어진 vector들을 조합해 어느 범위까지 만들 수 있는가, 그리고 그 space를 redundancy 없이 표현하려면 몇 개의 vector가 필요한가.

Span은 첫 번째 질문에, Basis와 Dimension은 두 번째 질문에 답한다.

Span

vector 의 모든 Linear Combination으로 이루어진 set을 이 vector들의 Span이라고 한다.

Span은 항상 Subspace이다. zero vector는 모든 coefficient를 으로 두면 얻을 수 있고, Linear Combination끼리 더하거나 scalar multiplication해도 다시 같은 vector들의 Linear Combination이 되기 때문이다.

R²를 Span하는 예

를 생각하면

이므로

이다.

반면 과 의 Linear Combination은 항상 축 위에만 놓인다. 서로 다른 두 vector라도 같은 direction을 가리키면 전체를 Span할 수 없다.

Basis

Vector Space 의 subset 가 다음 두 조건을 만족하면 의 Basis라고 한다.

  1. 는 linearly independent이다.
  2. 는 를 Span한다.

첫 번째 조건은 redundancy가 없다는 뜻이고, 두 번째 조건은 space 전체를 표현할 만큼 충분하다는 뜻이다.

Basis는 다음 두 관점으로 이해할 수 있다.

  • 를 Span하는 minimal vector set
  • 더 이상 vector를 추가하지 않아도 되는 maximal linearly independent set

의 Standard Basis는

이다. 그러나 Basis가 이것 하나로 정해지는 것은 아니다. 예를 들어

도 두 vector가 linearly independent이고 를 Span하므로 Basis이다.

Dimension

Vector Space 의 Basis에 포함된 vector의 개수를 의 Dimension이라고 한다.

는 의 모든 Basis가 개의 vector로 이루어진다는 뜻이다.

Basis 자체는 여러 가지일 수 있지만, finite-dimensional Vector Space의 모든 Basis는 같은 개수의 vector를 가진다. 따라서 Dimension은 선택한 Basis와 무관하다.

Linearly Dependent Vector가 포함된 Spanning Set

에서 두 번째 vector는 첫 번째 vector의 두 배이다.

따라서 두 번째 vector를 제거해도 Span이 변하지 않는다. 의 Basis는 하나의 vector만으로 구성할 수 있으므로

이다.

Span과 Column Space

vector들을 matrix의 column으로 모으면 Span과 Linear Independence를 Gaussian Elimination으로 확인할 수 있다.

이때 의 Column Space는

이다. row reduction 후 pivot column의 개수는 Column Space의 Dimension, 즉 matrix의 rank와 같다.

단, Basis를 원래 column vector에서 고를 때는 reduced matrix의 column이 아니라 original matrix에서 pivot position에 대응하는 column을 선택해야 한다.

정리

  • Span은 주어진 vector들의 모든 Linear Combination이다.
  • Basis는 space를 Span하면서 linearly independent인 vector set이다.
  • Dimension은 Basis vector의 개수이다.
  • spanning vector가 많아도 linearly dependent한 vector는 새로운 direction을 추가하지 않는다.
  • matrix에서는 pivot의 개수로 Column Space의 Dimension과 rank를 확인할 수 있다.

확인 문제

1

다음 vector들이 Span하는 space 의 Dimension을 구한다.

2

다음 명제가 참인지 판단한다.

이 Vector Space 를 Span하면 이다.

풀이

1번

세 vector를 column으로 둔 matrix는

이다. 이 matrix의 determinant는 로 이 아니므로 세 column vector는 linearly independent이다. 따라서

이다.

2번

거짓이다. spanning set에 linearly dependent한 vector가 포함될 수 있기 때문이다.

예를 들어 에서

은 를 Span하지만 vector는 세 개이고 Dimension은 이다. 일반적으로 개의 vector가 를 Span하면

이다.