연속 Distribution은 구간 위에 PDF를 정의하고 적분으로 확률을 계산한다. 각 Distribution은 단순히 식이 다른 것이 아니라, 값이 생성되는 상황과 지지집합의 형태가 다르다.

Uniform Distribution

구간 안의 모든 위치가 같은 밀도를 가질 때 사용한다.

Normal Distribution

Normal Distribution은 평균 주변에 값이 집중되고 양쪽 꼬리가 대칭인 종 모양의 Distribution이다.

는 중심 위치이고 는 퍼짐의 크기이다.

표준화하면 평균 0, Variance 1인 표준정규분포로 바뀐다.

정규화 상수의 근거가 되는 Gaussian integral은

이다.

Exponential Distribution

사건이 일정한 비율로 발생하는 Poisson process에서 다음 사건까지 기다리는 시간을 나타낸다.

Exponential Distribution도 기억 없음 성질을 가진다.

Gamma Distribution

Poisson process에서 번째 사건이 일어날 때까지의 대기시간을 일반화한 Distribution이다.

여기서는 를 rate 매개변수로 사용한다.

이면 Exponential Distribution이 된다.

Beta Distribution

0과 1 사이의 비율이나 확률을 모델링할 때 자주 사용한다.

Beta Function은 다음과 같다.

Distribution 선택 기준

  • 유한 구간에서 일정한 밀도: Uniform
  • 대칭적인 측정 오차나 여러 작은 효과의 합: Normal
  • 다음 사건까지의 대기시간: Exponential
  • 여러 번째 사건까지의 대기시간: Gamma
  • 0과 1 사이의 비율: Beta

연습 문제

  1. 일 때 를 구한다.
  2. 의 기억 없음 성질을 증명한다.
  3. Gamma Distribution에서 을 대입해 Exponential PDF를 얻는다.

풀이

1번

이므로 는 와 같다. Uniform Distribution의 구간 길이를 이용하면

이다.

2번

에 대해

따라서 이미 만큼 기다렸다는 사실이 추가 대기시간의 Distribution을 바꾸지 않는다.

3번

Gamma PDF에 을 대입하면

이다. 이므로 Exponential PDF와 같다.