두 행렬의 성분이 서로 달라도 같은 Linear Transformation을 서로 다른 Basis에서 표현한 것일 수 있다. 이 관계를 설명하는 개념이 Similarity이다.

정사각행렬 에 대해 어떤 invertible matrix 가 존재하여

를 만족하면 와 는 similar하다고 한다.

Similarity는 단순히 두 행렬이 같은 Eigenvalue를 가진다는 뜻보다 강하다. 두 행렬이 동일한 Linear Transformation을 서로 다른 좌표계에서 나타낸 것이라는 의미이다.

Basis Change에서 Similarity가 나오는 과정

새로운 Basis의 벡터들을 column으로 가지는 행렬을

라고 하자. 새로운 Basis에서의 좌표가 라면 표준좌표는

이다.

표준좌표에서 Linear Transformation의 행렬이 라면 변환 결과는

이다. 이 결과를 다시 새로운 Basis의 좌표로 바꾸려면 를 곱한다.

따라서 새로운 Basis에서 같은 변환을 나타내는 행렬은

이다.

Similarity가 Equivalence Relation인 이유

집합 위의 relation이 Equivalence Relation이 되려면 Reflexivity, Symmetry, Transitivity를 만족해야 한다.

Reflexivity

모든 행렬은 자기 자신과 similar하다.

따라서

이다.

Symmetry

라고 하자. 그러면

인 invertible matrix 가 존재한다. 이를 에 대해 정리하면

이다. 로 두면

이므로 이다.

Transitivity

, 라고 하자.

두 번째 식에 첫 번째 식을 대입하면

이다. 도 invertible하므로 이다.

따라서 Similarity는 Equivalence Relation이다. 정사각행렬 전체를 similarity class로 나눌 수 있으며, 같은 class의 행렬들은 동일한 Linear Transformation의 서로 다른 좌표 표현으로 볼 수 있다.

Similar Matrix가 보존하는 성질

이면 다음 값들이 보존된다.

  • Characteristic Polynomial
  • Eigenvalue와 Algebraic Multiplicity
  • Determinant
  • Trace
  • Rank
  • Minimal Polynomial
  • Diagonalizable 여부

Characteristic Polynomial

따라서

이다. 그러므로 와 는 같은 Characteristic Polynomial과 Eigenvalue를 가진다.

Determinant

이다.

Trace

Trace에는 cyclic property가 있다.

따라서

이다.

Rank

Invertible matrix를 왼쪽이나 오른쪽에 곱해도 Rank는 변하지 않는다.

이다.

Eigenvector는 같은 좌표로 유지되지 않는다

Similarity는 Eigenvalue를 보존하지만 Eigenvector의 좌표는 일반적으로 달라진다.

이고 라면

이다.

따라서 의 Eigenvector가 라면 에서 같은 방향을 나타내는 좌표는 이다. 실제 기하학적 방향이 바뀐 것이 아니라 좌표 표현이 바뀐 것이다.

Diagonalization과 Similarity

행렬 가 diagonalizable하다는 것은 어떤 invertible matrix 와 diagonal matrix 가 존재하여

로 쓸 수 있다는 뜻이다. 이를 정리하면

이므로 와 는 similar하다.

Diagonalization은 Similarity를 이용해 같은 Linear Transformation을 가장 단순한 diagonal form으로 표현하는 과정이다.

예제

이다. 먼저

이고

이다. 따라서 는 diagonal matrix 와 similar하다.

두 행렬의 Characteristic Polynomial은

로 같으며 Eigenvalue도 로 같다.

정리

  • Similarity는 동일한 Linear Transformation의 서로 다른 Basis 표현을 연결한다.
  • 이면 이다.
  • Similarity는 Reflexivity, Symmetry, Transitivity를 만족하므로 Equivalence Relation이다.
  • Similar matrix는 Characteristic Polynomial, Eigenvalue, Determinant, Trace, Rank를 공유한다.
  • Eigenvector의 좌표는 Basis Change에 따라 로 변환된다.
  • Diagonalization은 행렬을 similar한 diagonal matrix로 바꾸는 과정이다.

확인 문제

1

Similarity가 Symmetry를 만족함을 식으로 증명한다.

2

다음 행렬이 서로 similar한지 판단하고 공통 Eigenvalue를 구한다.

풀이

1번

라면

이다. 가 invertible하므로 이다.

2번

두 행렬의 Characteristic Polynomial은 모두

이다. 서로 다른 Eigenvalue 를 가지므로 둘 다 diagonalizable하며, 둘 다 와 similar하다. 따라서 이다.