두 벡터의 Inner Product가 0이면 두 벡터는 orthogonal하다고 한다.

2차원과 3차원에서는 수직인 방향으로 해석할 수 있지만, 정의 자체는 모든 에서 성립한다.

Orthogonal Set

nonzero vector들로 이루어진 집합

이 모든 에 대해

을 만족하면 Orthogonal Set이라고 한다.

Orthogonal Set은 Linearly Independent하다

이라고 하자. 양변에 를 곱하면

이다. Orthogonality에 의해 다른 항은 모두 0이므로

이다. 이므로 이다. 모든 coefficient가 0이므로 Orthogonal Set은 Linearly Independent하다.

Orthogonal Basis의 좌표

의 Orthogonal Basis가 라고 하자.

양변에 를 곱하면

이므로

이다. 일반 Basis에서는 연립방정식을 풀어야 하지만, Orthogonal Basis에서는 Inner Product만으로 coordinate를 구한다.

Orthonormal Set과 Basis

Orthogonal Set의 각 벡터 길이가 1이면 Orthonormal Set이라고 한다.

Orthogonal vector를

로 정규화하면 Orthonormal Vector를 얻는다.

Orthonormal Basis에서는 좌표 공식이

로 단순해진다.

Parseval Identity

Orthonormal Basis 에 대해

이고 길이는

이다. 벡터의 전체 energy가 orthonormal coordinate의 제곱합으로 보존된다.

Orthogonal Matrix

정사각행렬 의 column들이 Orthonormal Basis를 이루면 Orthogonal Matrix라고 한다.

column들의 모든 Inner Product를 행렬로 모으면

이다. 따라서

이다.

정사각행렬에서는 이면 자동으로 도 성립하므로 row들도 Orthonormal Basis이다.

길이와 각도 보존

이므로 Orthogonal Matrix는 길이를 보존한다.

또한

이므로 Inner Product와 각도도 보존한다.

Orthogonal Matrix는 공간을 늘이거나 찌그러뜨리지 않고 rotation 또는 reflection만 수행한다.

Determinant

의 determinant를 취하면

이므로

이다. 이면 orientation을 보존하는 rotation이고, 이면 reflection을 포함한다.

예제

이면

이다. 따라서 는 Orthogonal Matrix이다.

이 행렬은 평면을 회전한다.

정리

  • 서로 다른 벡터의 Inner Product가 0이면 orthogonal하다.
  • nonzero Orthogonal Set은 자동으로 Linearly Independent하다.
  • Orthonormal Basis에서는 coordinate가 Inner Product 하나로 계산된다.
  • Orthogonal Matrix는 , 를 만족한다.
  • Orthogonal Matrix는 길이, Inner Product, 각도를 보존한다.
  • 이다.

확인 문제

다음 행렬이 Orthogonal Matrix인지 판단하고, 그 변환의 기하학적 의미를 설명한다.

풀이

이므로 Orthogonal Matrix이다. 를 로 보내므로 직선 에 대한 reflection이다. 인 것도 reflection과 일치한다.