Random Variable은 가능한 값의 구조에 따라 이산형과 연속형으로 구분한다. 두 경우 모두 CDF로 Distribution을 표현할 수 있지만, 확률을 계산할 때 사용하는 함수는 각각 PMF와 PDF이다.

이산형과 연속형의 차이

가능한 값이 유한하거나 셀 수 있으면 이산 Random Variable이다. 주사위의 눈, 성공 횟수, 대기 중인 사람 수가 대표적인 예이다.

가능한 값이 어떤 구간을 연속적으로 채우는 것으로 모델링되면 연속 Random Variable이다. 측정된 키, 시간, 온도 등이 이에 해당한다.

이산형에서는 개별 값에 양의 확률이 배정될 수 있다. 연속형에서는 한 점의 확률이 0이고, 구간의 넓이로 확률을 계산한다.

PMF

Probability Mass Function, 즉 PMF는 이산 Random Variable의 각 값에 배정된 확률을 나타낸다.

PMF는 다음 조건을 만족한다.

값들의 집합 에 들어갈 확률은 해당 PMF를 모두 더한 값이다.

CDF와의 관계는 다음과 같다.

PDF

Probability Density Function, 즉 PDF는 연속 Random Variable의 확률이 어느 구간에 얼마나 조밀하게 분포하는지를 나타낸다. PDF의 함수값 자체는 확률이 아니다.

CDF가 미분 가능하면

이다. PDF는 다음 조건을 만족한다.

구간 확률은 PDF 아래의 넓이로 계산한다.

연속형에서는

이므로 구간 끝점을 포함하느냐는 확률에 영향을 주지 않는다.

PDF 예시

다음 함수를 생각한다.

에서 음이 아니고

이므로 PDF가 된다. CDF는 적분으로 구한다.

예를 들어

이다.

PMF와 PDF를 혼동하지 않기

PMF는 자체가 점 의 확률이다. 반면 PDF는 가 높을수록 그 근처에 확률이 더 조밀하다는 뜻일 뿐, 자체를 확률로 해석할 수 없다. PDF는 1보다 큰 값을 가질 수도 있지만, 전체 적분은 반드시 1이어야 한다.

정리

이산형에서는 PMF를 합해 확률을 구하고, 연속형에서는 PDF를 적분해 확률을 구한다. CDF는 두 유형에 공통으로 사용할 수 있는 표현이다.

연습 문제

  1. , 가 PMF인지 확인한다.
  2. , 가 PDF임을 확인하고 CDF를 구한다.
  3. 위 PDF에서 를 계산한다.

풀이

1번

에서 는 음수가 아니며

이다. 따라서 올바른 PMF이다.

2번

이라 하자. 에서 PDF는 음수가 아니고

이다. 따라서 PDF이다. CDF는

이다.

3번

라면

연속 Random Variable에서는 끝점을 포함하는지 여부가 확률값에 영향을 주지 않는다.