실수 벡터 공간에서는 Transpose와 Dot Product를 사용한다. 복소수 공간에서 단순히 Transpose만 사용하면 벡터의 길이 제곱이 음수나 복소수가 될 수 있다. Complex Conjugate를 함께 사용해야 Inner Product가 항상 nonnegative real number가 된다.
Complex Conjugate
복소수
의 Complex Conjugate는
이다.
이므로
이다.
Conjugate의 주요 성질은 다음과 같다.
Conjugate Transpose
복소수 벡터
의 Conjugate Transpose는
이다. 는 Hermitian Transpose를 의미한다.
복소수 Inner Product는
로 정의한다.
특히
이므로
이다.
Matrix의 Conjugate Transpose
복소수 행렬 에 대해
이다.
예를 들어
이면
이다.
주요 성질은
이다.
Real Matrix, Symmetric Matrix, Hermitian Matrix
Real Matrix는 모든 entry가 실수인 행렬이다.
Real Symmetric Matrix는
를 만족하는 실수 정사각행렬이다.
Hermitian Matrix는 복소수 정사각행렬 중
를 만족하는 행렬이다.
모든 Real Symmetric Matrix는 Hermitian Matrix이다. 그러나 Hermitian Matrix는 복소수 entry를 가질 수 있다.
는 이므로 Hermitian이지만 Real Matrix는 아니다.
Hermitian Matrix의 diagonal entry는 반드시 실수이다. 이기 때문이다.
Hermitian Matrix의 Eigenvalue는 실수이다
라고 하자. 왼쪽에 를 곱하면
이므로
이다.
이므로
이다. 자기 Conjugate와 같은 복소수는 실수이므로 이다.
서로 다른 Eigenvalue의 Eigenvector는 Orthogonal하다
이고 라고 하자.
이므로
이다.
Unitary Matrix
복소수 공간에서 Orthogonal Matrix에 대응하는 행렬을 Unitary Matrix라고 한다.
이면
이다.
Unitary Matrix는 Inner Product와 Norm을 보존한다.
Real Orthogonal Matrix는 Unitary Matrix의 특수한 경우이다.
Hermitian Spectral Theorem
Hermitian Matrix는 Unitary Diagonalization이 가능하다.
여기서 는 Unitary Matrix이고 의 diagonal entry는 모두 실수이다.
정리
- 복소수 공간의 Inner Product에는 Conjugate Transpose가 필요하다.
- 이다.
- Real Symmetric Matrix는 Hermitian Matrix의 특수한 경우이다.
- Hermitian Matrix의 Eigenvalue는 모두 실수이다.
- 서로 다른 Eigenvalue의 Eigenvector는 orthogonal하다.
- Unitary Matrix는 , 를 만족한다.
확인 문제
다음 행렬이 Hermitian인지 확인하고 Eigenvalue가 실수임을 계산으로 확인한다.
풀이
이므로 Hermitian이다.
Characteristic Polynomial은
이므로 Eigenvalue는
으로 모두 실수이다.