Determinant는 정사각행렬에 하나의 scalar를 대응시키는 함수이다. 행렬 의 Determinant는 또는 로 나타낸다.

Determinant는 행렬이 가역인지 판단하고, Linear Transformation이 공간의 넓이나 부피를 얼마나 변화시키는지 나타내며, 연립방정식의 해를 구하는 데 사용된다.

특히 다음 관계가 중요하다.

2×2 행렬의 Determinant

이면

이다. 예를 들어

이므로 이 행렬은 invertible이다.

Minor와 Cofactor

는 행렬 에서 번째 row와 번째 column을 제거한 부분행렬의 Determinant이다.

Cofactor는 Minor에 위치에 따른 부호를 붙인 값이다.

부호는 다음처럼 번갈아 나타난다.

예를 들어

에서

이다.

Laplace Expansion

Laplace Expansion은 한 row 또는 한 column을 기준으로 Determinant를 전개하는 방법이다.

번째 row를 기준으로 전개하면

이고, 번째 column을 기준으로 전개하면

이다. 어느 row나 column을 선택해도 결과는 같으므로 0이 많은 곳을 선택하면 계산량을 줄일 수 있다.

앞의 행렬을 첫 번째 row로 전개하면

이고

이므로

이다. 이 행렬의 row와 column은 linearly independent하지 않으므로 Determinant가 0이 된다.

Determinant의 주요 성질

Row를 교환하면 부호가 바뀐다

두 row를 교환한 행렬을 라고 하면

이다.

같은 Row가 존재하면 0이다

두 row가 같으면 row를 교환해도 행렬은 바뀌지 않지만 Determinant의 부호는 바뀌어야 한다. 따라서

이고 이다.

한 Row의 배수를 다른 Row에 더해도 값이 변하지 않는다

는 Determinant를 바꾸지 않는다. Gaussian Elimination으로 삼각행렬을 만들 때 유용하다.

한 Row에 Scalar를 곱하면 Determinant도 같은 Scalar만큼 변한다

번째 row를 배하면 새 행렬의 Determinant는 가 된다.

Zero Row가 있으면 0이다

zero row가 존재하면 row들이 linearly dependent하므로 이다.

Triangular Matrix

Upper 또는 Lower Triangular Matrix의 Determinant는 대각성분의 곱이다.

예를 들어

이면

이다.

Transpose

이다.

Matrix Product

이다. 따라서 scalar multiplication의 교환법칙에 의해 이지만, 행렬 자체는 일반적으로 이다.

Determinant와 Invertibility

정사각행렬 에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

  • 가 invertible이다.
  • 이다.
  • 이다.
  • 이다.
  • 가 모든 에 대해 유일한 해를 가진다.

Cofactor Matrix와 Adjugate Matrix

각 Cofactor를 성분으로 가지는 행렬을 Cofactor Matrix라고 한다.

Adjugate Matrix는 Cofactor Matrix의 Transpose이다.

Adjugate Matrix에는 다음 핵심 성질이 있다.

곱의 대각성분은 한 row에 대한 Laplace Expansion이므로 가 된다. 비대각성분은 서로 다른 row를 결합한 전개이므로 동일한 row가 두 개 있는 Determinant와 같은 구조가 되어 0이 된다.

Adjugate Matrix를 이용한 역행렬

이면

이므로

이다.

2×2 행렬에서는

가 된다. 단, 이어야 한다.

Cramer’s Rule

다음 연립방정식을 생각한다.

는 invertible한 행렬이고, 는 의 번째 column을 로 교체한 행렬이라고 하자. 그러면

이다.

Cramer’s Rule은 이론적으로 중요하지만, 큰 행렬에서는 여러 Determinant를 반복 계산해야 한다. 실제 대규모 계산에서는 Gaussian Elimination이나 LU Decomposition이 더 효율적이다.

Cramer’s Rule 예제

먼저

이다. 첫 번째 column을 우변으로 교체하면

이므로

이다. 두 번째 column을 교체하면

이므로

이다.

정리

  • Determinant는 정사각행렬의 가역성과 선형종속 여부를 판단한다.
  • Laplace Expansion은 Minor와 Cofactor로 Determinant를 전개한다.
  • 이다.
  • 이다.
  • Cramer’s Rule은 각 변수를 Determinant의 비로 표현한다.

확인 문제

1

다음 행렬의 Determinant를 구한다.

2

다음 연립방정식을 Cramer’s Rule로 푼다.

풀이

1번

첫 번째 row로 Laplace Expansion한다.

이다.

2번

이고

이므로 이다. 또한

이므로 이다.