이산 Distribution은 셀 수 있는 값에 확률을 배분한다. 공식을 외우기보다 무엇을 세는 Random Variable인지, 시행이 독립인지, 복원추출인지를 먼저 확인해야 적절한 Distribution을 선택할 수 있다.
Bernoulli Distribution
한 번의 시행 결과가 성공과 실패 두 가지뿐일 때 사용한다. 성공을 1, 실패를 0으로 두면
이다. 이를 로 쓴다.
Binomial Distribution
성공 확률이 인 독립 Bernoulli 시행을 번 반복했을 때 성공 횟수를 나타낸다.
조합계수는 성공이 일어나는 개의 위치를 선택하는 경우의 수이다.
Geometric Distribution
독립 Bernoulli 시행을 성공할 때까지 반복할 때, 첫 성공이 나오는 시행 번호를 나타낸다.
Geometric Distribution은 기억 없음 성질을 가진다.
이미 번 실패했다는 사실이 앞으로 기다릴 시간의 Distribution을 바꾸지 않는다는 뜻이다.
Negative Binomial Distribution
번째 성공이 나올 때까지 필요한 시행 횟수를 나타낸다.
마지막 번째 시행은 반드시 성공이고, 앞의 번 중 번이 성공해야 한다.
Hypergeometric Distribution
유한한 모집단에서 복원하지 않고 표본을 뽑을 때 사용한다. 전체 개 중 성공 항목이 개이고, 개를 뽑았을 때 성공 개수를 라 하면
이다. 복원하지 않으므로 각 추출은 독립이 아니다.
마지막 인자는 유한모집단 보정이다.
Poisson Distribution
일정한 시간이나 공간 구간에서 드물게 발생하는 사건의 개수를 모델링할 때 사용한다.
는 한 구간에서 기대되는 평균 발생 횟수이다.
독립인 Poisson Random Variable의 합도 Poisson Distribution을 따른다.
Distribution 선택 기준
- 한 번의 성공·실패: Bernoulli
- 독립 시행 번의 성공 횟수: Binomial
- 첫 성공까지의 시행 횟수: Geometric
- 번째 성공까지의 시행 횟수: Negative Binomial
- 비복원추출에서의 성공 개수: Hypergeometric
- 일정 구간에서 발생한 사건의 개수: Poisson
연습 문제
- 불량률이 0.02인 제품 100개 중 불량품 수를 Binomial Distribution으로 나타낸다.
- 카드 52장 중 5장을 비복원추출할 때 에이스 수의 Distribution을 구한다.
- 시간당 평균 3회 발생하는 사건이 2시간 동안 5회 발생할 확률을 구한다.
풀이
1번
각 제품의 불량 여부가 서로 독립이고 불량률이 일정하다고 가정하면, 불량품 수 는
이다. 따라서
이다.
2번
전체 52장 중 에이스가 4장이고 비복원으로 5장을 뽑으므로 에이스 수 는 Hypergeometric Distribution을 따른다.
이다.
3번
2시간 동안의 평균 발생 횟수는 이므로 이다. 따라서
이다.