Characteristic Polynomial은 Eigenvalue를 구하는 식이지만, 행렬 자체가 만족하는 대수적 관계이기도 하다. 이 사실을 정확히 표현한 정리가 Cayley-Hamilton Theorem이다.
행렬 의 Characteristic Polynomial을
라고 하자. Cayley-Hamilton Theorem은
가 성립한다고 말한다.
Polynomial에 행렬을 대입한다는 의미
Scalar polynomial
에 행렬 를 대입하면
가 된다. 상수항 는 같은 크기의 matrix가 아니므로 로 해석한다.
행렬의 모든 거듭제곱은 서로 commute하므로 일반 polynomial 계산과 같은 방식으로 다룰 수 있다.
2×2 행렬에서의 형태
의 Characteristic Polynomial은
이다. Trace와 Determinant를 사용하면
이다.
따라서 모든 행렬은
를 만족한다.
즉,
이다. 높은 거듭제곱을 와 의 Linear Combination으로 줄일 수 있다.
행렬 거듭제곱 예제
라고 하자. Characteristic Polynomial은
이다.
Cayley-Hamilton Theorem에 의해
이고
이다.
이제
이다. 계속 반복하면 모든 을
꼴로 표현할 수 있다.
Polynomial Division을 이용하는 방법
을 Characteristic Polynomial로 나눈다.
행렬 를 대입하면
이다. 이기 때문이다.
따라서 행렬의 높은 거듭제곱은 항상 의 Linear Combination으로 줄일 수 있다.
Recurrence Relation
앞의 예제에서는
이다. 양변에 를 곱하면
이다. 행렬의 거듭제곱 자체가 2차 recurrence를 만족한다.
이는 수열의 recurrence, 선형동역학계, Fibonacci-type matrix 계산과 연결된다.
역행렬 계산
가 invertible하고
이며 라고 하자. 양변에 를 곱하면
이므로
이다.
특히 에서는
이다.
Diagonalization과의 관계
라고 하자. Characteristic Polynomial의 각 Eigenvalue 는
을 만족하므로
이다. 따라서
이다.
이 증명은 diagonalizable matrix에는 직접 적용된다. 일반 행렬에 대한 완전한 증명은 Adjugate Matrix 또는 Jordan Form을 이용한다.
Adjugate를 이용한 핵심 아이디어
다음 항등식을 사용한다.
를 에 대한 matrix polynomial로 전개하고 같은 차수의 coefficient를 비교하면, 이 coefficient 관계를 조합하여
를 얻을 수 있다.
예제: A⁵ 계산
이다. Characteristic Polynomial은
이므로
이다.
순서대로 계산하면
이다.
정리
- 모든 정사각행렬은 자신의 Characteristic Polynomial을 만족한다.
- 이다.
- 높은 행렬 거듭제곱은 낮은 차수의 거듭제곱으로 축소할 수 있다.
- Invertible matrix의 inverse를 matrix polynomial로 표현할 수 있다.
- 에서는 가 성립한다.
확인 문제
1
에 대해 Cayley-Hamilton Theorem을 확인한다.
2
위 행렬의 을 와 의 Linear Combination으로 나타낸다.
풀이
1번
Characteristic Polynomial은
이다. 따라서
이어야 한다. 직접 계산하면
이고 도 같은 행렬이므로 정리가 확인된다.
2번
를 반복하면
이고
이다.