[Linear Algebra] 선형대수학(5강) - Span과 Basis
Span, Basis의 개념을 이해하고, 공간의 dimension을 구할 수 있습니다.
- 수식이 제대로 보이지 않는다면, 새로고침(F5)을 해주시기 바랍니다.
이번 포스팅에서는 span과 basis의 개념에 대해 알아보겠습니다.
Span
여러 개의 벡터가 주어졌을 때, 이 벡터들을 linear combination하여 만들 수 있는 모든 벡터들의 집합을 그 벡터들의 스팬(span)이라고 합니다.
즉, 벡터 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k$가 주어졌을 때, 이들의 span은 아래와 같이 정의됩니다.
정의 자체는 어렵지 않습니다. 아래 예시도 한 번 보겠습니다.
Example
다음 두 벡터가 주어졌다고 합시다.
\[\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]이때 \(\text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}\)는 다음과 같습니다.
\[\left\{ c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \mid c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} \mid c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}\]
즉, 이는 $\mathbb{R}^2$ 전체를 구성하게 됩니다. 왜 그렇게 될까요?
2차원 좌표는 $x$ 성분과 $y$ 성분으로 이루어져있습니다. 따라서 $(1,0)$과 $(0,1)$를 이용하여 적절히 곱하고 더하면 결국 모든 좌표를 표현할 수 있겠죠? 만약 $(1,0)$과 $(2,0)$의 span은 $\mathbb{R}^2$를 구성할 수 없습니다. 왜냐하면 절대로 모든 $y$성분을 표현할 수 없기 때문입니다. 이어지는 basis에 대한 설명을 보시면 더욱 쉽게 이해하실 수 있습니다.
Basis
어떤 벡터 공간 $V$에 대해, 벡터들의 집합 ${ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k }$가 다음 두 조건을 만족하면 이 집합을 $V$의 basis라고 합니다.
- linearly independent
- span$(V)$
첫 번째 조건은 basis의 벡터들은 linearly independent하다는 뜻입니다. 두 번째 조건은 basis는 $V$를 span한다는 의미입니다.
basis에 대한 다음 표현도 이해에 도움이 되실 것 같아서 함께 첨부합니다.
- Basis is a maximal set of linearly independent vectors.
- Basis is a minimal set of vector spanning $V$.
아래 예시를 통해 이해를 더욱 구체화해봅시다.
Example
$\mathbb{R}^2$에서 다음 벡터들을 한 번 생각해봅시다.
\[\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]이 두 벡터는 서로 선형 독립이며, 이들의 span은 $\mathbb{R}^2$ 전체를 만듭니다.
따라서 이 집합 ${ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 }$는 $\mathbb{R}^2$의 basis가 됩니다. 아까 span 설명 마지막 부분의 설명이 더욱 이해가 가실 것이라 생각합니다.
Dimension
어떤 벡터 공간 $V$의 차원(dimension)이란, $V$의 basis vector의 개수입니다. 예를 들어, $\mathbb{R}^2$에서는 기저 벡터가 2개였죠? 2차원입니다.
차원에 대한 기호도 존재하는데요, 아래와 같은 의미를 가집니다.
- $\dim(V) = k$ ⟺ $V$의 한 basis가 $k$개의 벡터로 이루어져 있다.
아래 예시를 통해 직접 dimension을 계산해봅시다.
Example
\[W = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} \right\}\]여기서 두 벡터가 linearly dependent하다는 것이 보이시나요? 첫 번째 벡터에 스칼라 2를 곱하면 두 번째 벡터가 됩니다.
따라서 사실상 하나의 벡터만으로 $W$를 생성하겠죠? 즉, $W$의 basis는 1개의 벡터만 갖습니다.
또한 차원은 $\dim(W) = 1$입니다.
Conclusion
이번 시간에는 span, basis, dimension에 대해서 알아보았습니다. $W=\mathbb{R}^2$의 basis 벡터는 $(1,0)$과 $(0,1)$이며, 이들을 span할 경우 $\mathbb{R}^2$가 되며, $\dim(W)=2$라는 예시를 중점으로 설명드렸습니다.
여기서 오해하실 수 있을 것 같은 부분이 있어서 하나 더 설명을 드리자면, $\mathbb{R}^2$의 basis 벡터가 $(1,0)$과 $(0,1)$로 정해진 것이 아닙니다. $(2,0)$과 $(1,-1)$을 span해서도 $\mathbb{R}^2$를 만들 수 있겠죠? 즉 basis의 조합은 무수히 많지만, basis vector의 수가 항상 $2$로 같은 것입니다. 이 점을 꼭 유의하시길 바랍니다. 이번 강의는 여기서 마치겠습니다.
Practice
Q1. 다음 $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$, $\mathbf{v}_3$에 대하여 \(W = \operatorname{span} \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \}\)일 때, $\dim(W)$를 구하시오.
\[\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}\]Q2. 다음 명제가 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 드시오.
만약 $\left( x_1, x_2, \dots, x_n \right)$이 어떤 부분공간 $V$를 span한다면, $\dim V = n$이다.
Answer
추후에 업로드 예정