[Linear Algebra] 선형대수학(2강) - 여러 종류의 행렬
특이한 행렬의 종류를 알아봅니다.
- 수식이 제대로 보이지 않는다면, 새로고침(F5)을 해주시기 바랍니다.
이번 강의는 가볍게 특이한 행렬의 용어 및 성질을 짚어보는 강의입니다. 고등학교에서도 배우신 분이 있을 것 같습니다.
바로 설명으로 넘어가겠습니다.
Square Matrix (정사각 행렬)
정사각 행렬(Square Matrix)은 행(row)의 개수와 열(column)의 개수가 같은 행렬을 말합니다.
보통 $n \times n$ matrix로 표기합니다.
$n \times n$ 정사각 행렬 $A$의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.
\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\]여기서 $a_{ij}$는 $i$번째 행, $j$번째 열의 원소를 의미합니다.
Example
\[A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & -2 \end{bmatrix}\]이는 $3 \times 3$ 정사각 행렬입니다.
Identity Matrix (단위 행렬)
단위 행렬(Identity Matrix)은 정사각 행렬 중 대각 성분이 모두 1이고, 나머지 성분이 모두 0인 행렬을 말합니다.
보통 $I_n$으로 표기하며, $n \times n$ 행렬에서 행렬 곱셈의 항등원 역할을 하기도 합니다.
아무 행렬 $A$에 대해, $A$가 $n \times n$ 행렬이면 다음이 성립합니다.
\[AI_n = I_nA = A\]일반적인 표현은 아래와 같습니다.
\[I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\]Example
\[I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]Diagonal Matrix (대각 행렬)
대각 행렬(Diagonal Matrix)은 정사각 행렬 중에서 주대각 위의 원소를 제외한 모든 원소가 0인 행렬을 말합니다.
보통 $\mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 형태로 표기하며, 대각 성분에는 0이 아닌 값도 올 수 있습니다.
$n \times n$ 대각 행렬 $D$의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.
\[D = \begin{bmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{nn} \end{bmatrix}\]여기서 $d_{ii}$는 주대각선 원소이며, $d_{ij} = 0$ (단, $i \neq j$)가 성립합니다.
Properties
다음으로는 대각 행렬에서 성립하는 간단한 계산 성질을 정리했습니다. 직접 계산을 해보면 바로 아실 수 있는 내용이니, 자세한 증명은 생략하겠습니다.
- 대각 행렬끼리의 덧셈, 곱셈은 각 대각 원소끼리 연산하면 됩니다.
- 대각 행렬의 거듭제곱 역시 각 대각 원소를 거듭제곱하면 됩니다.
- 단위 행렬(Identity Matrix)은 대각 행렬의 한 특별한 경우입니다. (모든 대각 원소가 1)
Example
\[D = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\]이는 $\mathrm{diag}(4, -3, 5)$로도 표기할 수 있습니다.
Transpose of a Matrix (전치 행렬)
전치 행렬(Transpose of a Matrix)은 주어진 행렬의 행(row)과 열(column)을 서로 맞바꾼 행렬을 말합니다.
행렬 $A$의 전치 행렬은 $A^T$로 표기합니다.
즉, $A = [a_{ij}]$일 때, 전치 행렬 $A^T$는 다음과 같이 정의됩니다.
\[(A^T)_{ij} = a_{ji}\]원래 행렬 $A$가
\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\]라면, 전치 행렬 $A^T$는
\[A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\]가 됩니다.
Properties
다음은 전치 연산에 대해 정리한 내용입니다. 증명은 어렵지 않으니 연습 문제 및 예시를 통해 직접 증명해보시는 것을 추천드립니다.
또한 앞으로도 계속 등장할 개념이므로 꼭 기억해두시길 바랍니다.
- $(A^T)^T = A$
- $(A + B)^T = A^T + B^T$
- $(kA)^T = kA^T$ (상수 $k$에 대해)
- $(AB)^T = B^T A^T$
Example
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\]또한 $A^T = A$이면 $A$는 symmetric한 행렬이고, $A^T=-A$라면 $A$는 skew-symmetric한 행렬입니다. 정말 자주 등장하는 용어이므로 꼭 기억하시길 바랍니다.
Triangular Matrix (삼각 행렬)
삼각 행렬(Triangular Matrix)은 정사각 행렬 중에서 주대각선을 기준으로, 대각선 위쪽 또는 아래쪽의 모든 원소가 0인 행렬을 말합니다.
삼각 행렬은 크게 상삼각 행렬(Upper Triangular Matrix)과 하삼각 행렬(Lower Triangular Matrix)로 나뉩니다.
Definition
상삼각 행렬 (Upper Triangular Matrix)
\[U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & u_{nn} \end{bmatrix}\]
주대각선 아래의 모든 원소가 0인 행렬
$a_{ij} = 0$ (단, $i > j$)가 성립합니다.하삼각 행렬 (Lower Triangular Matrix)
\[L = \begin{bmatrix} l_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ l_{21} & l_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ l_{n1} & l_{n2} & \cdots & l_{nn} \end{bmatrix}\]
주대각선 위의 모든 원소가 0인 행렬
$a_{ij} = 0$ (단, $i < j$)가 성립합니다.
Properties
다음은 triangular matrix의 성질을 정리한 내용입니다. 증명하기 어렵지 않으니 직접 계산을 해보면서 확인해보시길 바랍니다.
- 삼각 행렬끼리의 곱은 같은 형태의 삼각 행렬입니다.
- 대각 행렬은 상삼각 행렬이면서 동시에 하삼각 행렬입니다.
Example
상삼각 행렬 \(U = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}\)
하삼각 행렬 \(L = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \end{bmatrix}\)
Conclusion
이번 시간 정사각 행렬부터 삼각 행렬까지, 여러 행렬의 종류를 알아보았습니다. 내용 자체는 어렵지 않으나 앞으로도 계속 사용할 용어인만큼, 꼭 정확히 숙지를 하시길 바랍니다. 아래 연습 문제를 풀면서 개념을 정리해보길 추천드립니다. 이번 글은 여기서 마치겠습니다.
Practice
Q1. 정사각 행렬 $A$는 아래와 같다. 이때, $a+b$를 구하시오.
\(A = \begin{bmatrix} -2 & 0 & a \\ 11 & 2 & -1 \\ 4 & b & 1 \end{bmatrix}\)
Q2. 다음 조건을 만족하는 모든 $A$의 합을 구하시오.
- $A$ is 2x2 upper triangular matrix.
- $A$는 원소로 0, 1, 2, 3을 중복 없이 하나씩 갖는다.
- 각 열의 원소의 합끼리 서로 같다.
Q3. 정사각 행렬 $A$, $B$, $C$에 대하여 $B$는 symmetric하고, $C$는 skew-symmetric하다고 하자.
$A=B+C$로 표현할 수 있다고 할 때, $B$와 $C$를 각각 $A$에 대하여 표현하시오.
Answer
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